Tensores y funciones multilineales

Un campo de tensores (1,1) es una sección del haz TMTM.

Esto significa que, en cada punto, obtenemos un elemento de TpMTpM, que es naturalmente isomorfo (ya que estamos en dimensión finita) a Hom(TpM,TpM).
Como la asignación es lisa (C) podemos levantarla a una función C-lineal que manda secciones de TM a secciones de TM.

En geometría diferencial se hacen muchas identificaciones de este tipo. Todas ellas se pueden deducir de dos muy simples.
Dados espacios veectoriales V, W, tenemos morfismos
VWHom(V,W)(1)
$$\alpha \otimes w \mapsto λv. f(v)w \quad$$
y
VWHom(V,W)(2)
vwλα.α(v)w.
En dimensión finita, estos morfismos son isomorfismos. En particular, poniendo W=F (el campo de escalares) en el segundo morfisml, obtenemos el bien conocido isomorfismo entre V y V**.

Parece que a los matemáticos les gusta definir los (p,q) tensores como

Tensp,q(V)=pVqV

o en general, los (p,q)-tensores con valores en un espacio E como

Tensp,q(V,E)=pVqVE

mientras que los físicos suelen definir los p,q-tensores E-valuados como el espacio de funciones multilineales

Tqp(V,E)=Mult(pV×qV,E)

Gracias a los morfismos (1), (2), y usando que el dual conmuta con el producto tensorial, ahora vemos por qué son equivalentes. Tenemos

Tensp,q(V,E)
=pVqVE
=(pVqV)E
=Hom(pVqV,E)
=Mult(pV×qV,E)
=Tqp(V,E).
 
Por cierto. Busqué cómo usar mathjax hace 10 minutos. Si alguien sabe cómo poner bien los aligns pase el tip jaj.
Esta wea no se ve:
 
\begin{align}
\Tens_{p,q}(V,E)
&= \bigotimes^pV \otimes \bigotimes^q V^* \otimes E \
&= \left(\bigotimes^pV^* \otimes \bigotimes^q V\right)^* \otimes E \
&= \Hom\left( \bigotimes^pV^*, \otimes \bigotimes^q V , E \right) \
&= \Mult\left( \prod^pV^* × \prod^q V , E \right) \
&= T^p_q(V,E).
\end{align}
 
 
 

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