Tensores y funciones multilineales

Un campo de tensores \((1,1)\) es una sección del haz \(TM \otimes T^*M\). \(\def\Hom{\mathrm{Hom}}\) \(\def\Tens{\mathrm{Tens}}\) \(\def\Mult{\mathrm{Mult}}\)

Esto significa que, en cada punto, obtenemos un elemento de \(T_pM \otimes T^*_pM\), que es naturalmente isomorfo (ya que estamos en dimensión finita) a \(\Hom(T_pM,T_pM)\).

Como la asignación es lisa (\(C^\infty\)) podemos levantarla a una función \(C^\infty\)-lineal que manda secciones de \(TM\) a secciones de \(TM\).

En geometría diferencial se hacen muchas identificaciones de este tipo. Todas ellas se pueden deducir de dos muy simples.

Dados espacios veectoriales \(V\), \(W\), tenemos morfismos

$$V^* \otimes W \to \Hom(V,W)     \quad (1)$$

$$\alpha \otimes w \mapsto λv. f(v)w \quad$$

y

$$V \otimes W \to \Hom(V^*,W)     \quad (2)$$

$$v \otimes w \mapsto λα. α(v)w.\quad$$

En dimensión finita, estos morfismos son isomorfismos. En particular, poniendo W=F (el campo de escalares) en el segundo morfisml, obtenemos el bien conocido isomorfismo entre V y V**.

Parece que a los matemáticos les gusta definir los \((p,q)\) tensores como

$$\Tens_{p,q}(V) = \bigotimes^pV \otimes \bigotimes^q V^*$$

o en general, los \((p,q)\)-tensores con valores en un espacio \(E\) como

$$\Tens_{p,q}(V,E) = \bigotimes^pV \otimes \bigotimes^q V^* \otimes E$$

mientras que los físicos suelen definir los p,q-tensores E-valuados como el espacio de funciones multilineales

$$T^p_q(V,E) = \Mult\left( \prod^p V^* × \prod^q V , E \right)$$

Gracias a los morfismos (1), (2), y usando que el dual conmuta con el producto tensorial, ahora vemos por qué son equivalentes. Tenemos

$$\Tens_{p,q}(V,E)$$

$$= \bigotimes^pV \otimes \bigotimes^q V^* \otimes E$$

$$= \left(\bigotimes^pV^* \otimes \bigotimes^q V\right)^* \otimes E$$

$$= \Hom\left( \bigotimes^pV^* \otimes \bigotimes^q V , E \right)$$

$$= \Mult\left( \prod^pV^* × \prod^q V , E \right)$$

$$= T^p_q(V,E).$$

 

Por cierto. Busqué cómo usar mathjax hace 10 minutos. Si alguien sabe cómo poner bien los aligns pase el tip jaj.
Esta wea no se ve:

 

\begin{align}

\Tens_{p,q}(V,E)

&= \bigotimes^pV \otimes \bigotimes^q V^* \otimes E \\

&= \left(\bigotimes^pV^* \otimes \bigotimes^q V\right)^* \otimes E \\

&= \Hom\left( \bigotimes^pV^*, \otimes \bigotimes^q V , E \right) \\

&= \Mult\left( \prod^pV^* × \prod^q V , E \right) \\

&= T^p_q(V,E).

\end{align}