Tensores y funciones multilineales

Un campo de tensores $(1,1)$ es una sección del haz $TM\otimes T^{\ast }M$. $$ $$ $$

Esto significa que, en cada punto, obtenemos un elemento de $T_{p}M\otimes T_p^{\ast }M$, que es naturalmente isomorfo (ya que estamos en dimensión finita) a $\mathrm{Hom}(T_{p}M,T_{p}M)$.

Como la asignación es lisa ($C^{\mathrm{\infty }}$) podemos levantarla a una función $C^{\mathrm{\infty }}$-lineal que manda secciones de $TM$ a secciones de $TM$.

En geometría diferencial se hacen muchas identificaciones de este tipo. Todas ellas se pueden deducir de dos muy simples.

Dados espacios veectoriales $V$, $W$, tenemos morfismos

$$V^{\ast }\otimes W\to \mathrm{Hom}(V,W)(1)$$

$$\alpha \otimes w \mapsto λv. f(v)w \quad$$

y

$$V\otimes W\to \mathrm{Hom}(V^{\ast },W)(2)$$

$$v\otimes w\mapsto \lambda \alpha .\alpha (v)w.$$

En dimensión finita, estos morfismos son isomorfismos. En particular, poniendo W=F (el campo de escalares) en el segundo morfisml, obtenemos el bien conocido isomorfismo entre V y V**.

Parece que a los matemáticos les gusta definir los $(p,q)$ tensores como

$${\mathrm{Tens}}_{p,q}(V)=\stackrel{p}{⨂}V\otimes \stackrel{q}{⨂}{V}^{\ast }$$

o en general, los $(p,q)$-tensores con valores en un espacio $E$ como

$${\mathrm{Tens}}_{p,q}(V,E)=\stackrel{p}{⨂}V\otimes \stackrel{q}{⨂}{V}^{\ast }\otimes E$$

mientras que los físicos suelen definir los p,q-tensores E-valuados como el espacio de funciones multilineales

$$T_q^p(V,E)=\mathrm{Mult}(\prod ^p{V}^{\ast }\times \prod ^{q}V,E)$$

Gracias a los morfismos (1), (2), y usando que el dual conmuta con el producto tensorial, ahora vemos por qué son equivalentes. Tenemos

$${\mathrm{Tens}}_{p,q}(V,E)$$

$$=\stackrel{p}{⨂}V\otimes \stackrel{q}{⨂}{V}^{\ast }\otimes E$$

$$={(\stackrel{p}{⨂}{V}^{\ast }\otimes \stackrel{q}{⨂}V)}^{\ast }\otimes E$$

$$=\mathrm{Hom}(\stackrel{p}{⨂}{V}^{\ast }\otimes \stackrel{q}{⨂}V,E)$$

$$=\mathrm{Mult}(\prod ^p{V}^{\ast }\times \prod ^{q}V,E)$$

$$=T_q^p(V,E).$$

 

Por cierto. Busqué cómo usar mathjax hace 10 minutos. Si alguien sabe cómo poner bien los aligns pase el tip jaj.
Esta wea no se ve:

 

\begin{align}

\Tens_{p,q}(V,E)

&= \bigotimes^pV \otimes \bigotimes^q V^* \otimes E \

&= \left(\bigotimes^pV^* \otimes \bigotimes^q V\right)^* \otimes E \

&= \Hom\left( \bigotimes^pV^*, \otimes \bigotimes^q V , E \right) \

&= \Mult\left( \prod^pV^* × \prod^q V , E \right) \

&= T^p_q(V,E).

\end{align}