Casi no quepo en mí mismo de felicidad. O locura. Me siento parte de la ridiculez de este mundo, o al menos de la ridiculez de la manera en que siento el mundo.
Ya no sé qué creer. Las matemáticas ahora parecen ser un asunto epistemológico. Esto comenzó porque empezamos a ver patrones en lo que nos rodeaba, y desarrollamos contextos en los cuales manipular estas ideas. Resulta que, a veces, si las manipulaciones tienen cierta coherencia, podemos hacer predicciones de lo que observaremos después en el mundo. Pero: ¿nos hablan las matemáticas acerca de las características del mundo? ¿o nos hablan, más bien, de las características de nuestra percepción del mundo?
No lo sé, y quizá ambas cosas sean indistinguibles.
Recientemente empecé a leer acerca de las 2-categorías. Son estructuras en las cuales no solo hay morfismos (1-morfismos), sino también morfismos entre morfismos (2-morfismos). Si a las categorías comunes las llamamos 1-categorías una 2-categoría se puede entender como una 1-categoría enriquecida sobre 1-categorías, lo que significa que cada hom-objeto forma una 1-categoría. En fin, después de darme de topes una y otra vez con las definiciones, entendí que la composición de 1-morfismos en la necesita ser un functor y, por supuesto, este functor se debe dedicar a mapear tanto los 1-morfismos como los 2-morfismos. Esto da lugar a dos nociones de composición de 2-morfismos, y la functorialidad de la composición de 1-morfismos nos da la ley del intercambio.
En el contexto de la 2-categoría Cat finalmente pude entender las definiciones de adjunción y mónada. Creo que son el lugar donde se pueden formular manera natural estos conceptos.
No solo eso. En general, las nociones categóricas nos permiten alejarnos del concepto de "igualdad" para abrazar el concepto de "isomorfismo". Las 2-categorías no son la excepción. Aquí entendí por qué existe el concepto de "equivalencia de categorías". Es una especie de isomorfismo salvo isomorfismo.
Concretamente, cuando decimos que dos categorías son isomorfas, significa que existe un 1-isomorfismo entre ellas ( vistas como objetos de la 2-categoría Cat). Esto quiere decir que existen dos 1-morfismos tales que cada composición sea igual al 1-morfismo identidad.
Por otro lado, decimos que dos categorías son equivalentes si existen 1-morfismos tales que cada composición sea 2-isomorfa (a traés de 2-morfismos) al 1-morfismo identidad.
Pero aún hay más. Claro que hay más. Esto se puede extender a n-categorías, y a las llamadas infinito-categorías. Aún no entiendo la construcción, pero justo ahora creo que entiendo la motivación. Puede que lo esté entiendiendo mal, pero ahí va: con cada iteración, se define una n-categoría como una categoría enriquecida sobre (n-1)-categorías, así que se añade una posible manera en que dos objetos pueden ser el mismo (isomorfismo, equivalencia) pero en el enésimo nivel siempre se necesita recurrir a la noción de n-igualdad para formular la noción de (n-1)-isomorfismo. Me imagino que las infinito-categoríadan una manera en la que se evita la noción de igualdad. Pero entonces puede que existan isomorfismos que sean, de alguna manera, no equivalentes. No sé si lo estoy interpretando bien, pero quizá es esto lo que da pie a una noción de homotopía, y luego es por eso que la teoría homotópica de tipos se formula en infinito-categorías. Además, también he escuchado que trabajar en infinito-categorías es similar a trabajar en categorías enriquecidas sobre Top.
