Hoy leí un poquito de Natural operations in differential geometry. Agarré una parte donde habla de los haces vectoriales naturales, y luego define la derivada de Lie para cualquier haz vectorial. No entendí mucho. Pero hablaba de la categoría de las variedades suaves m-dimensionales. Lo que me dejó loco fue cuando demostraron que el espacio de las derivaciones del álgebra exterior es en sí misma un álgebra, y comenzaron a usar corchetes gradados para conmutar y anticonmutar operadores. Agh. Me perdí feo.
Hacía varios meses había leído sobre la diferencia entre el producto directo y la suma directa de grupos abelianos. No había entendido nada. Hoy lo volví a leer, y milagrosamente lo entendí. Realmente no son otra cosa que el producto y coproducto categóricos en la categoría de grupos abelianos. Resultan ser idénticos para un índice finito, pero no así para índices infinitos, donde la suma directa es un subgrupo del producto directo tal que sólo una cantidad finita de entradas sean distintas de cero. (Los elementos casi-nulos). Ja.
La distinción es más notoria en la categoría de los grupos. Entonces, el producto es el producto cartesiano equipado con operación de grupo componente a componente, mientras que el coproducto es el llamado producto libre de grupos.
Ví un video del curso de topología algebraica de Wildberger en el que terminó metiéndose en geometría proyectiva (los teoremas de Pappus, Desargues y Pascal), lo cual me llevó a recordar que en el blog de Ravi Vakil hay un curso de geometría algebraica que aún tengo pendiente comenzar a leer. Oh, cielos.
Añadí un par de líneas al final del artículo sobre la derivada exterior en la wiki. Algo sobre el laplaciano vectorial en términos de la derivada exterior y el dual de Hodge. Meh, no muy interesante. Después subiré aquí las fórmulas generales para variedades pseudo-riemannianas generales. Ojalá sea pronto.
Además volví a escuchar a Tool, después de algo así como un año de no buscarlos. También: recientemente una chica entró a mi vida, y trajo con ella una lista de reproducción de youtube con cosas que no conocía. Usaré mucho tiempo ahí.
Creo que es todo, por ahora.
Oh, por supuesto, no he hecho mi tarea de geometría, y tampco la de conjuntos. Cielos, ya van a ser las 4.
