Sobre categorías de M-conjuntos.

Dado un monoide \(M\), el funtor de olvido \(U\) de la categoría de \(M\)-conjuntos (digamos derechos) a conjuntos tiene un adjunto izquierdo \(F\) dado por \(FS=S\times M\), con \(M\) actuando por la derecha en el primer componente. \(\def\Set{\mathrm{Set}} \def\pt{\mathrm{pt}} \def\B{\mathbf B} \def\op{\mathrm{op}}\).

La categoría \(\B M = \Set^{M^\op}\) de \(M\)-conjuntos derechos tiene productos dados por \(X\times Y\) con acción componente a componente. Además, esta estructura cartesiana es cerrada. El conjunto subyacente del exponente \(Y^X=[X,Y]\) se puede calcular usando las adjunciones

$$U(Y^X) = \Set(\pt,U(Y^X)) = \B M(M,Y^X) = \B M(M\times X,Y).$$

Por lo tanto, debemos equipar \(Y^X=\B M(M\times X,Y)\) con una acción derecha de \(M\) tal que obtengamos un isomorfismo

\[ \B M(Z\times X, Y) \simeq \B M(Z,Y^X) \]

 natural en \(Z\) y \(Y\).

Creo que debe haber una manera de recuperar la acción de un \(M\)-conjunto de una manera funtorial. Tengo que pensar en eso. Por ahora, podemos fijarnos en las restricciones que nos imponen la unidad y la counidad de la adjunción: deben ser \(M\)-morfismos

$$\eta_Z : \B M(Z,(Z\times X)^X)$$
$$\epsilon_Y : \B M(Y^X\times X,Y)$$

 universales, en cierto sentido.

Por la forma que tiene, creo que es más fácil estudiar la counidad $\epsilon_Y$.

$$\epsilon_Y : \B M(\B M(M\times X,Y)\times X,Y)$$

Dada una pareja \((f,x):\B M(M\times X,X)\times X\), debemos producir un elemento de \(Y\). No tenemos ningún elemento de \(M\) a la mano. Esto es bueno, por que no tenemos otra opción que tomar \(f(e,x)\), y así definimos \(\epsilon_Y\).

Además, \(\epsilon_Y=\lambda(f,x).f(e,x)\) debe ser \(M\)-equivariante. Esto significa que \(\epsilon_Y(fm,xm)=(\epsilon(f,x))m)\), pero esto es

\[(fm)(e,xm) = f(e,x)m = f(m,xm)\]

ya que \(f:M\times X\to X\) es \(M\)-equivariante. Por lo tanto, ya sabemos que \(fm\) debe actuar como \((fm)(e,x)=f(m,x)\), lo que nos sugiere dos opciones:
\((fm)(n,x)=f(nm,x)\) o \((fm)(n,x)=f(mn,x)\), de las cuales solo la segunda es equivariante, así que la acción de \(M\) en \(Y^X=\B M(M\times X,Y)\) debe estar dada por \(fm = \lambda n,x.f(mn,x)\).

La universalidad de \(\epsilon_Y\) es sencilla. Dado un \(M\)-morfismo \(\alpha:Z\times X\to Y\), debemos producir un \(M\)-morfismo \(\alpha_\flat:Z\to Y^X\) que factorice \(\alpha\) a través de \(\epsilon_Y\). La condición de equivarianza nos dice que \(\alpha_\flat(zn)=\alpha_\flat(z)n\). Es decir, para todo \((m,x)\) debemos tener \(\alpha_\flat(zn)(m,x)=(\alpha_\flat(z)n)(m,x)=\alpha_\flat(z)(nm,x)\).

De nuevo, esto solo nos deja la opfión de definir ambos como \(\alpha(znm,x)\). En particular, para \(n=e\), esto es \(\alpha_\flat(z)(m,x)=(zm,x)\). En efecto, esto factoriza a \(\alpha\) como debería y la unicidad es rutinaria.

Esto fue una descripción de la estructura cartesiana cerrada de \(\B M\), que es parte de la estructura de topos. Además, si \(M\) es más que un monoide, la categoría \(\B M\) puede tener otras propiedades interesantes.

•  Notemos que siempre hay una función

\[Y^X=\B M(M\times X,Y) \to \Set(X,Y)\]

dada por \(f\mapsto \lambda x.f(e,x)\).

Si \(M\) es un grupo, entonces esto es una biyección. El hecho de que la imagen de \(g:\Set(X,Y)\) en \(\B M(M\times X,Y)\) tenga que ser equivariante nos deja una sola elección. Inténtenlo, es divertido. En fin, la inversa está dada como \(g\mapsto\lambda(m,x).g(xm^{-1})m\) y la acción que esta biyección induce en \(\Set(X,Y)\) se calcula como \(gm=\lambda x.g(xm^{-1})m\).
De cualquier modo, esto nos dice que el conjunto subyacente a \(Y^X\) no es el conjunto \(\B M(X,Y)\). En otras palabras, el objeto interno de flechas *no es* el conjunto de morfismos "externo" con estructura extra. Este es uno de los casos más simples de este fenómeno.

• A pesar de que el conjunto de morfismos \(\B M(X,Y)\) no sea el objeto exponencial en \(\B M\), de todos modos nos podemos preguntar si le podemos poner una acción interesante. Dado \(f:\B M(X,Y)\), nos gustaría definir \(fm\). Parece que nuestra única opción no trivial es declarar que \((fm)(x)=f(xm)=f(x)m\), pero esto no funciona porque \((fm)\) resulta no ser equivariante:
  \[ (fm)(xn)=f(xnm) \overset{?}{=}f(xmn) = f(xm)n = (fm)(x)n.\]
  Esto recuerda la situación de los módulos sobre anillos no conmutativos. En efecto, para definir una acción derecha en \(\B M(X,Y)\), necesitamos que \(X\) sea un bimódulo sobre \(M\). Es decir, que además de su acción derecha tenga una acción izquierda compatible. En este caso, podemos definir una acción derecha en \(\B M(X,Y)\) como
  \[ (fm)(x) = f(mx). \]
  Más aún, el funtor \(\B M(X,-):\B M\to\B M\) tiene un adjunto izquierdo que se denota como producto tensorial:
  \[\B M(Z\otimes_M X,Y) = \B M(Z,\B M(X,Y)). \]
  Si \(M\) es conmutativo (lo cual sucede si, y solo si, todos sus módulos son bimódulos), entonces \((-\otimes_M-)\) y \(\B M(-,-)\) son bifuntores que dotan a \(\B M\) de otra estructura monoidal cerrada, además de la cartesiana dada por \((-\times-)\) y \((-)^{(-)}\). \(\def\id{\mathrm{id}} \def\Nat{\mathrm{Nat}}\)
  

Este post fue inspirado por esta respuesta de Zhen Lin, esta pregunta de Mr. Scotti y esta otra pregunta de Pouya Layeghi en MSE, a la cual Roland respondió con una observación interesante: aunque \(M\) no sea abeliano, el conjunto \(\B M(X,Y)\) sí tiene una acción del centro \(ZM=ZM^\op=\Nat(\id_{M^\op},\id_{M^\op})\) de \(M\) y la acción se puede construir categóricamente.
Viendo a \(X,Y:M^\op\to\Set\) como funtores, la acción de \(m:ZM^\op\) en una transformación natural \(f:X\to Y\) está dada en el siguiente diagrama de cuerdas:

escribimos \(X=X\circ \id_{M^\op}\) y \(Y=Y\circ\id_{M^\op}\), con lo cual obtenemos una nueva transformación natural por composición horizontal: \(f\ast m\).

Esta construcción de bimódulos funciona en cualquier categoría \(C\).