Tensores y funciones multilineales

Un campo de tensores $(1,1)$ es una sección del haz $TM\otimes T^{\ast }M$. $$ $$ $$

Esto significa que, en cada punto, obtenemos un elemento de $T_{p}M\otimes T_p^{\ast }M$, que es naturalmente isomorfo (ya que estamos en dimensión finita) a $\mathrm{Hom}(T_{p}M,T_{p}M)$.

Como la asignación es lisa ($C^{\mathrm{\infty }}$) podemos levantarla a una función $C^{\mathrm{\infty }}$-lineal que manda secciones de $TM$ a secciones de $TM$.

En geometría diferencial se hacen muchas identificaciones de este tipo. Todas ellas se pueden deducir de dos muy simples.

Dados espacios veectoriales $V$, $W$, tenemos morfismos

$$V^{\ast }\otimes W\to \mathrm{Hom}(V,W)(1)$$

$$\alpha \otimes w \mapsto λv. f(v)w \quad$$

y

$$V\otimes W\to \mathrm{Hom}(V^{\ast },W)(2)$$

$$v\otimes w\mapsto \lambda \alpha .\alpha (v)w.$$

En dimensión finita, estos morfismos son isomorfismos. En particular, poniendo W=F (el campo de escalares) en el segundo morfisml, obtenemos el bien conocido isomorfismo entre V y V**.

Parece que a los matemáticos les gusta definir los $(p,q)$ tensores como

$${\mathrm{Tens}}_{p,q}(V)=\stackrel{p}{⨂}V\otimes \stackrel{q}{⨂}{V}^{\ast }$$

o en general, los $(p,q)$-tensores con valores en un espacio $E$ como

$${\mathrm{Tens}}_{p,q}(V,E)=\stackrel{p}{⨂}V\otimes \stackrel{q}{⨂}{V}^{\ast }\otimes E$$

mientras que los físicos suelen definir los p,q-tensores E-valuados como el espacio de funciones multilineales

$$T_q^p(V,E)=\mathrm{Mult}(\prod ^p{V}^{\ast }\times \prod ^{q}V,E)$$

Gracias a los morfismos (1), (2), y usando que el dual conmuta con el producto tensorial, ahora vemos por qué son equivalentes. Tenemos

$${\mathrm{Tens}}_{p,q}(V,E)$$

$$=\stackrel{p}{⨂}V\otimes \stackrel{q}{⨂}{V}^{\ast }\otimes E$$

$$={(\stackrel{p}{⨂}{V}^{\ast }\otimes \stackrel{q}{⨂}V)}^{\ast }\otimes E$$

$$=\mathrm{Hom}(\stackrel{p}{⨂}{V}^{\ast }\otimes \stackrel{q}{⨂}V,E)$$

$$=\mathrm{Mult}(\prod ^p{V}^{\ast }\times \prod ^{q}V,E)$$

$$=T_q^p(V,E).$$

 

Por cierto. Busqué cómo usar mathjax hace 10 minutos. Si alguien sabe cómo poner bien los aligns pase el tip jaj.
Esta wea no se ve:

 

\begin{align}

\Tens_{p,q}(V,E)

&= \bigotimes^pV \otimes \bigotimes^q V^* \otimes E \

&= \left(\bigotimes^pV^* \otimes \bigotimes^q V\right)^* \otimes E \

&= \Hom\left( \bigotimes^pV^*, \otimes \bigotimes^q V , E \right) \

&= \Mult\left( \prod^pV^* × \prod^q V , E \right) \

&= T^p_q(V,E).

\end{align}

 

 

 

¿Qué pasa con los teclados de teléfonos?

El de samsung tiene un montón de teclas aue no necesito. ¿Para qué quiero una tecla de •○●□■♤♡◇♧☆▪︎¤¥, o ₩? Además en la 

barra de direcciones me aparece una tecla para escribir ".com", la cual para colmo es enorme y hace que mi tecla de espacio se haga minúscula. ¡No puedo escribir direcciones a gusto!

El de google no tiene teclado dividido, que es lo que sí me gusta del de samsung. Escribir en horizontal se vuelve muy cansado.

El swiftkey se veía bien, pero ¿por qué tiene que guardar información acerca de qué palabras escribo? ¿estamos locos? ni siquiera uso el texto predictivo o el autocorrector, pero microsoft no me permite desactivar la opción de analizar mis palabras. Me imagino que el de google está igual, pero ni me molesté en averiguar.

Al final voy a dejar el de samsung. Terrible.

Quiero programar un poco. Tengo ganas de hacer un curso de progra orientada a objetos para refactorizar todo funcionalmente o con progra procedimental. Qué crack soy, ya sé.

Tengo muchas cosas que hacer de la escuela. No he terminado de calificar tareas y esta semana no avancé con el proyecto de generadores de números aleatorios. RIP.

Aparte Abelardo ya dejó la tarea 5 y yo ni la he leído.

Hoy modifiqué un poco la wiki del tensor de curvatura de Riemann. Resulta que había unas ecuaciones medio engañosas. Les puse otra cosa que, según yo, tiene más significado. También creo que falta una cita para apoyar una afirmación que hizo quien redactó el texto original. Luego lo veré con más detalle. Dejé la información en la página de discusión del artículo.

Bueno, vai.