Tuve un sueño

 

en el que hablaba con una compañera de la secundaria. Hablábamos mucho y con mucha emoción. Me encantó hablar con ella. Verla. Soñarla.

Ya no recuerdo de qué hablábamos. Tan sólo recuerdo que al despertar sentí una gran necesidad por volver a verla. Yo sabía que estaba despierto, y sabía que había sido un sueño, pero aún así quería hacerlo. Incluso estuve a punto de volver a abrir facebook para conseguir algún modo de contactarla.

Al día siguiente, ya no.

Yo sabía que nunca habíamos hablado mucho, en realidad. Recuerdo que teníamos charlas tranquilas y no muy memorables. Me pasó unos libros de García Márquez, pero en esos días yo aún casi ni sabía leer. De todos modos, algo en ella dejó una fuerte impresión en mi memoria. Suficientemente fuerte como para tener (tantos años después) un sueño con ella que me provocase una sensación así, aunque sea por un momento.

Pero esto no es raro. De vez en cuando me pasa. Hace mucho soñé que salía con una chica, y por varios días consideré hablar con ella al respecto. Luego lo olvidé. No era racional, pero sentí esa necesidad de decirle, "Oye, soñé que éramos felices juntos".

A veces me pregunto si a más gente le pasa lo mismo: tener deseos causados por sueños. Y me imagino que la respuesta es sí. Creo que sería muy raro que no.

Lo que es más interesante es considerar lo siguiente: cuando siento estos deseos, muchas veces me he dado cuenta de que son causados por un sueño. Pero, ¿y qué cuando no me doy cuenta? de todos los deseos que he tenido, de todas las decisiones que he tomado, de todas las palabras que he dicho, de todas mis miradas, mis pasos, mis visitas, mis abrazos... ¿cuántos habrán estado guiados por un sueño?

La regla integral de Leibniz

 

es un resultado que, bajo ciertas condiciones, permite intercambiar el orden una integral y una derivada.

Usando esta regla, Feynman popularizó una técnica muy poderosa para resolver imtegrales (ahora conocida como integración de Feynman). Añadiendo más dimensiones, se puede usar en aplicaciones físicas, como en dinámica de fluidos, o en electrodinámica. Pero también es un resultado bonito y útil en teoría de la medida.

Pero bueno, bueno. Hace ya como 5 meses, encontré en facebook una imagen que era algo así:

Esta la hice yo. Intenté encontrar la imagen original pero ya no pude: está enterrada entre cientos de publicaciones de facebook.

La verdad es que no me importa mucho lo que dicen exactamente estas fórmulas, lo que más me llamó la atención es que a medida que tratamos de generalizar más y más, introduciendo más dimensiones, las cosas parecen volverse peores:
Las primeras dos fórmulas integran funciones escalares. Una es la forma más simple: cuando la región de integración no cambia a través del tiempo. La segunda elimina esta restricción añadiendo algunos términos de frontera.
La tercera fórmula ya es un horror: la función a integrar es un campo vectorial, y los diferenciales de superficie y línea no son difereciales comunes sino vectoriales. Para colmo encontramos una divergencia y un producto cruz (que por cierto nos limita a 3 dimensiones).

Después de meterme a la wiki, encontré otras dos formas más generales de escribir la identidad. Una llamada el "Teorema del transporte de Reynolds":

que, por cierto, se ve mucho más simple, y según el artículo, F puede ser un tensor de cualquier rango.

Pero más abajo encontré algo más esperanzador:

Esta identidad de aquí ya se ve más geometrodiferecial: en los integrandos sólo encontramos la contracción de vectores sobre p-formas y una derivada exterior (aunque con un subíndice algo extraño). Son objetos con los cuales es fácil trabajar. Ah, y algo muy lindo es que funcionan en cualquier número de dimensiones.

Pero bueno, yo quería más. Después de observar esa última identidad por un rato, viendo sobre todo esa derivada exterior que debía ser "puramente espacial", y observar que también había derivadas respecto del tiempo, se me ocurrió investigar qué pasaba si nos poníamos a "geometrizar" el tiempo (es decir, tomarlo como una dimensión más, para obtener algo así como un espaciotiempo no relativista). Tenía sentido para mí, y después de un rato, usando la "fórmula mágica de Cartan", logré llegar a esta sospechosa identidad.

Y digo "sospechosa" porque para mí se veía demasiado simple. Demasiado elegante.
Los objetos que hay aquí ya son bastante abstractos. Del lado izquierdo integramos nuestra p-forma sobre la imagen de la superficie "transportada" a través del espaciotiempo (no relativista) por un grupo de difeomorfismos (psi), mientras que del lado derecho encontramos la derivada de Lie de la p-forma respecto del campo vectorial (Psi) que genera el grupo de difeomorfismos. Lo interesante es que ahora todos los objetos son espaciotemporales. La variable "t" es ahora un parámetro más parecido al (la) Eigenzeit relativista que al tiempo como dimensión de nuestro espaciotiempo (quizá vendría bien escribit "tau" en lugar de "t"), y el campo vectorial Psi tiene cierto parecido con la 4-velocidad de la variedad sobre la que integramos (Omega), excepto porque la 4-velocidad relativista siempre es unitaria, y esto no es posible debido a que aquí estamos usando suposiciones newtonianas.

En fin, debido a la aparente simplicidad de esta identidad estuve dudando de mí mismo por unas horas, hasta que encontré que también se puede llegar al mismo resultado comenzando con el lado derecho y usando la definición de la derivada de Lie en términos de un grupo de difeomorfismos, por lo que de hecho es un resultado muy general (y un poco trivial, a decir verdad). ¡Pero bueno! hemos superado las expectativas que teníamos en mente. Si nos limitamos a la idea original (integrar solamente a lo largo del espacio) la derivada de Lie nos da información que no usamos: ritmos de cambio a través del tiempo. Sin embargo, modificando la 4-velocidad Psi, podríamos hacer que algunas partes de nuestra variedad Omega "evolucionen" a través del espaciotiempo y dejar otras partes "pausadas", podríamos hacer curvas que hiciesen bucles en el espaciotiempo, o integrar sobre "worldlines"... no lo sé... las posibilidades son muchas. Por supuesto, aún no se me ocurren aplicaciones para esto, pero debe de haber, ¿no?

Ah, así que al final era cierto. Fue un alivio y una alegría por fin haber encontrado una manera de recordar la regla integral de Leibniz en cualquier número de dimensiones.

Incluso lo puse en la wiki. :) ahora soy felíz cx.

Hace tres días borré una carpeta que contenía un proyecto de la escuela.

 

Creo que fue malo.

Haciendo ese proyecto aprendí lo poco que sé de Laravel, y en realidad de desarrollo web. Lo iba reutilizando una y otra vez. Creo que en total fueron 5 materias, durante año y medio, las que pasé gracias a esa carpeta. Eso incluye la última materia de mi plan de estudios, esa materia con la cual estuve a punto de mandar al traste la mitad de mi tiempo en esa escuela.

Aún tengo una grabación de mi profesor mencionando los nombres de los que no habíamos reprobado. Fue tan liberador. Por fin había terminado la prepa. Ese día les marqué por teléfono a mis amigos, y todos se emocionaron conmigo. Un mes y medio después estaba recogiendo mi certificado de bachillerato.

Ahora, dos meses y seis días después, espero.

Faltan dieciocho días para el exámen de la universiad. Dicen que este año es diferente, que cambiaron el sistema. Da igual. Estoy ansioso. Fui a una presentación de un proyecto integrador de un chavo que está a punto de salir de la carrera. ¡Ah...! qué bonito debe ser.

Resulta que en cucei tienen un formulario de cálculo con muchas (muchas) fórmulas. Cientos de derivadas e integrales. Muchos casos muy específicos. Es extraño.

Hoy llovió, igual que ayer.

Traje leche y Nesquick.

No hubo lechuga.