El mundo es una locura

 

Casi no quepo en mí mismo de felicidad. O locura. Me siento parte de la ridiculez de este mundo, o al menos de la ridiculez de la manera en que siento el mundo.

Ya no sé qué creer. Las matemáticas ahora parecen ser un asunto epistemológico. Esto comenzó porque empezamos a ver patrones en lo que nos rodeaba, y desarrollamos contextos en los cuales manipular estas ideas. Resulta que, a veces, si las manipulaciones tienen cierta coherencia, podemos hacer predicciones de lo que observaremos después en el mundo. Pero: ¿nos hablan las matemáticas acerca de las características del mundo? ¿o nos hablan, más bien, de las características de nuestra percepción del mundo?

No lo sé, y quizá ambas cosas sean indistinguibles.

Recientemente empecé a leer acerca de las 2-categorías. Son estructuras en las cuales no solo hay morfismos (1-morfismos), sino también morfismos entre morfismos (2-morfismos). Si a las categorías comunes las llamamos 1-categorías una 2-categoría se puede entender como una 1-categoría enriquecida sobre 1-categorías, lo que significa que cada hom-objeto forma una 1-categoría. En fin, después de darme de topes una y otra vez con las definiciones, entendí que la composición de 1-morfismos en la necesita ser un functor y, por supuesto, este functor se debe dedicar a mapear tanto los 1-morfismos como los 2-morfismos. Esto da lugar a dos nociones de composición de 2-morfismos, y la functorialidad de la composición de 1-morfismos nos da la ley del intercambio.

En el contexto de la 2-categoría Cat finalmente pude entender las definiciones de adjunción y mónada. Creo que son el lugar donde se pueden formular manera natural estos conceptos.

No solo eso. En general, las nociones categóricas nos permiten alejarnos del concepto de "igualdad" para abrazar el concepto de "isomorfismo". Las 2-categorías no son la excepción. Aquí entendí por qué existe el concepto de "equivalencia de categorías". Es una especie de isomorfismo salvo isomorfismo.

Concretamente, cuando decimos que dos categorías son isomorfas, significa que existe un 1-isomorfismo entre ellas ( vistas como objetos de la 2-categoría Cat). Esto quiere decir que existen dos 1-morfismos tales que cada composición sea igual al 1-morfismo identidad.

Por otro lado, decimos que dos categorías son equivalentes si existen 1-morfismos tales que cada composición sea 2-isomorfa (a traés de 2-morfismos) al 1-morfismo identidad.

Pero aún hay más. Claro que hay más. Esto se puede extender a n-categorías, y a las llamadas infinito-categorías. Aún no entiendo la construcción, pero justo ahora creo que entiendo la motivación. Puede que lo esté entiendiendo mal, pero ahí va: con cada iteración, se define una n-categoría como una categoría enriquecida sobre (n-1)-categorías, así que se añade una posible manera en que dos objetos pueden ser el mismo (isomorfismo, equivalencia) pero en el enésimo nivel siempre se necesita recurrir a la noción de n-igualdad para formular la noción de (n-1)-isomorfismo. Me imagino que las infinito-categoríadan una manera en la que se evita la noción de igualdad. Pero entonces puede que existan isomorfismos que sean, de alguna manera, no equivalentes. No sé si lo estoy interpretando bien, pero quizá es esto lo que da pie a una noción de homotopía, y luego es por eso que la teoría homotópica de tipos se formula en infinito-categorías. Además, también he escuchado que trabajar en infinito-categorías es similar a trabajar en categorías enriquecidas sobre Top.

Olmos dont's

 

Hoy leí un poquito de Natural operations in differential geometry. Agarré una parte donde habla de los haces vectoriales naturales, y luego define la derivada de Lie para cualquier haz vectorial. No entendí mucho. Pero hablaba de la categoría de las variedades suaves m-dimensionales. Lo que me dejó loco fue cuando demostraron que el espacio de las derivaciones del álgebra exterior es en sí misma un álgebra, y comenzaron a usar corchetes gradados para conmutar y anticonmutar operadores. Agh. Me perdí feo.

Hacía varios meses había leído sobre la diferencia entre el producto directo y la suma directa de grupos abelianos. No había entendido nada. Hoy lo volví a leer, y milagrosamente lo entendí. Realmente no son otra cosa que el producto y coproducto categóricos en la categoría de grupos abelianos. Resultan ser idénticos para un índice finito, pero no así para índices infinitos, donde la suma directa es un subgrupo del producto directo tal que sólo una cantidad finita de entradas sean distintas de cero. (Los elementos casi-nulos). Ja.

La distinción es más notoria en la categoría de los grupos. Entonces, el producto es el producto cartesiano equipado con operación de grupo componente a componente, mientras que el coproducto es el llamado producto libre de grupos.

Ví un video del curso de topología algebraica de Wildberger en el que terminó metiéndose en geometría proyectiva (los teoremas de Pappus, Desargues y Pascal), lo cual me llevó a recordar que en el blog de Ravi Vakil hay un curso de geometría algebraica que aún tengo pendiente comenzar a leer. Oh, cielos.

Añadí un par de líneas al final del artículo sobre la derivada exterior en la wiki. Algo sobre el laplaciano vectorial en términos de la derivada exterior y el dual de Hodge. Meh, no muy interesante. Después subiré aquí las fórmulas generales para variedades pseudo-riemannianas generales. Ojalá sea pronto.

Además volví a escuchar a Tool, después de algo así como un año de no buscarlos. También: recientemente una chica entró a mi vida, y trajo con ella una lista de reproducción de youtube con cosas que no conocía. Usaré mucho tiempo ahí.

Creo que es todo, por ahora.

Oh, por supuesto, no he hecho mi tarea de geometría, y tampco la de conjuntos. Cielos, ya van a ser las 4.

Tuve un sueño

 

en el que hablaba con una compañera de la secundaria. Hablábamos mucho y con mucha emoción. Me encantó hablar con ella. Verla. Soñarla.

Ya no recuerdo de qué hablábamos. Tan sólo recuerdo que al despertar sentí una gran necesidad por volver a verla. Yo sabía que estaba despierto, y sabía que había sido un sueño, pero aún así quería hacerlo. Incluso estuve a punto de volver a abrir facebook para conseguir algún modo de contactarla.

Al día siguiente, ya no.

Yo sabía que nunca habíamos hablado mucho, en realidad. Recuerdo que teníamos charlas tranquilas y no muy memorables. Me pasó unos libros de García Márquez, pero en esos días yo aún casi ni sabía leer. De todos modos, algo en ella dejó una fuerte impresión en mi memoria. Suficientemente fuerte como para tener (tantos años después) un sueño con ella que me provocase una sensación así, aunque sea por un momento.

Pero esto no es raro. De vez en cuando me pasa. Hace mucho soñé que salía con una chica, y por varios días consideré hablar con ella al respecto. Luego lo olvidé. No era racional, pero sentí esa necesidad de decirle, "Oye, soñé que éramos felices juntos".

A veces me pregunto si a más gente le pasa lo mismo: tener deseos causados por sueños. Y me imagino que la respuesta es sí. Creo que sería muy raro que no.

Lo que es más interesante es considerar lo siguiente: cuando siento estos deseos, muchas veces me he dado cuenta de que son causados por un sueño. Pero, ¿y qué cuando no me doy cuenta? de todos los deseos que he tenido, de todas las decisiones que he tomado, de todas las palabras que he dicho, de todas mis miradas, mis pasos, mis visitas, mis abrazos... ¿cuántos habrán estado guiados por un sueño?

La regla integral de Leibniz

 

es un resultado que, bajo ciertas condiciones, permite intercambiar el orden una integral y una derivada.

Usando esta regla, Feynman popularizó una técnica muy poderosa para resolver imtegrales (ahora conocida como integración de Feynman). Añadiendo más dimensiones, se puede usar en aplicaciones físicas, como en dinámica de fluidos, o en electrodinámica. Pero también es un resultado bonito y útil en teoría de la medida.

Pero bueno, bueno. Hace ya como 5 meses, encontré en facebook una imagen que era algo así:

Esta la hice yo. Intenté encontrar la imagen original pero ya no pude: está enterrada entre cientos de publicaciones de facebook.

La verdad es que no me importa mucho lo que dicen exactamente estas fórmulas, lo que más me llamó la atención es que a medida que tratamos de generalizar más y más, introduciendo más dimensiones, las cosas parecen volverse peores:
Las primeras dos fórmulas integran funciones escalares. Una es la forma más simple: cuando la región de integración no cambia a través del tiempo. La segunda elimina esta restricción añadiendo algunos términos de frontera.
La tercera fórmula ya es un horror: la función a integrar es un campo vectorial, y los diferenciales de superficie y línea no son difereciales comunes sino vectoriales. Para colmo encontramos una divergencia y un producto cruz (que por cierto nos limita a 3 dimensiones).

Después de meterme a la wiki, encontré otras dos formas más generales de escribir la identidad. Una llamada el "Teorema del transporte de Reynolds":

que, por cierto, se ve mucho más simple, y según el artículo, F puede ser un tensor de cualquier rango.

Pero más abajo encontré algo más esperanzador:

Esta identidad de aquí ya se ve más geometrodiferecial: en los integrandos sólo encontramos la contracción de vectores sobre p-formas y una derivada exterior (aunque con un subíndice algo extraño). Son objetos con los cuales es fácil trabajar. Ah, y algo muy lindo es que funcionan en cualquier número de dimensiones.

Pero bueno, yo quería más. Después de observar esa última identidad por un rato, viendo sobre todo esa derivada exterior que debía ser "puramente espacial", y observar que también había derivadas respecto del tiempo, se me ocurrió investigar qué pasaba si nos poníamos a "geometrizar" el tiempo (es decir, tomarlo como una dimensión más, para obtener algo así como un espaciotiempo no relativista). Tenía sentido para mí, y después de un rato, usando la "fórmula mágica de Cartan", logré llegar a esta sospechosa identidad.

Y digo "sospechosa" porque para mí se veía demasiado simple. Demasiado elegante.
Los objetos que hay aquí ya son bastante abstractos. Del lado izquierdo integramos nuestra p-forma sobre la imagen de la superficie "transportada" a través del espaciotiempo (no relativista) por un grupo de difeomorfismos (psi), mientras que del lado derecho encontramos la derivada de Lie de la p-forma respecto del campo vectorial (Psi) que genera el grupo de difeomorfismos. Lo interesante es que ahora todos los objetos son espaciotemporales. La variable "t" es ahora un parámetro más parecido al (la) Eigenzeit relativista que al tiempo como dimensión de nuestro espaciotiempo (quizá vendría bien escribit "tau" en lugar de "t"), y el campo vectorial Psi tiene cierto parecido con la 4-velocidad de la variedad sobre la que integramos (Omega), excepto porque la 4-velocidad relativista siempre es unitaria, y esto no es posible debido a que aquí estamos usando suposiciones newtonianas.

En fin, debido a la aparente simplicidad de esta identidad estuve dudando de mí mismo por unas horas, hasta que encontré que también se puede llegar al mismo resultado comenzando con el lado derecho y usando la definición de la derivada de Lie en términos de un grupo de difeomorfismos, por lo que de hecho es un resultado muy general (y un poco trivial, a decir verdad). ¡Pero bueno! hemos superado las expectativas que teníamos en mente. Si nos limitamos a la idea original (integrar solamente a lo largo del espacio) la derivada de Lie nos da información que no usamos: ritmos de cambio a través del tiempo. Sin embargo, modificando la 4-velocidad Psi, podríamos hacer que algunas partes de nuestra variedad Omega "evolucionen" a través del espaciotiempo y dejar otras partes "pausadas", podríamos hacer curvas que hiciesen bucles en el espaciotiempo, o integrar sobre "worldlines"... no lo sé... las posibilidades son muchas. Por supuesto, aún no se me ocurren aplicaciones para esto, pero debe de haber, ¿no?

Ah, así que al final era cierto. Fue un alivio y una alegría por fin haber encontrado una manera de recordar la regla integral de Leibniz en cualquier número de dimensiones.

Incluso lo puse en la wiki. :) ahora soy felíz cx.

Hace tres días borré una carpeta que contenía un proyecto de la escuela.

 

Creo que fue malo.

Haciendo ese proyecto aprendí lo poco que sé de Laravel, y en realidad de desarrollo web. Lo iba reutilizando una y otra vez. Creo que en total fueron 5 materias, durante año y medio, las que pasé gracias a esa carpeta. Eso incluye la última materia de mi plan de estudios, esa materia con la cual estuve a punto de mandar al traste la mitad de mi tiempo en esa escuela.

Aún tengo una grabación de mi profesor mencionando los nombres de los que no habíamos reprobado. Fue tan liberador. Por fin había terminado la prepa. Ese día les marqué por teléfono a mis amigos, y todos se emocionaron conmigo. Un mes y medio después estaba recogiendo mi certificado de bachillerato.

Ahora, dos meses y seis días después, espero.

Faltan dieciocho días para el exámen de la universiad. Dicen que este año es diferente, que cambiaron el sistema. Da igual. Estoy ansioso. Fui a una presentación de un proyecto integrador de un chavo que está a punto de salir de la carrera. ¡Ah...! qué bonito debe ser.

Resulta que en cucei tienen un formulario de cálculo con muchas (muchas) fórmulas. Cientos de derivadas e integrales. Muchos casos muy específicos. Es extraño.

Hoy llovió, igual que ayer.

Traje leche y Nesquick.

No hubo lechuga.

Llevo varios días tratando de escribir algo de divulgación científica

 

para publicar en un blog.

No sé cómo. Ahora vengo a sentarme aquí, frente a la pantalla, para tratar de volcar lo que siento al respecto. O no lo sé, tan solo para escribir algo.

Primero quise escribir algo de geometría diferencial, que es un tema que me apasiona. Pensé en hablar de los bundles y la fascinante idea de geometrizar los objetos tales como grupos de simetrías (en teorías gauge) y los fibrados formados por espacios tangentes (en mecánica analítica, por ejemplo) para estudiar la estructura del espacio subyacente.

Este tema de geometrizar objetos parece haber sido una gran idea, pues ha hecho posible formular claramente teorías como la relatividad, y la forma moderna de la electrodinámica clásica, junto con (por supuesto) las teorías cuánticas de campos. De ello se habla al principio del libro de David Bleckker llamado Gauge theory and variational principles. Parece ser que este ha sido uno de los pocos libros que logran satisfacer tanto a matemáticos como a físicos. Esto otro lo he leído en una tesis de licenciatura de Matthijs Vákár llamada Principal bundles and gauge theories, que encontré porque estaba tratando de entender la manera en que la teoría de categorías entiende las estructuras usadas en la geometría diferencial moderna.  La teoría de categorías parece abarcar todo lo que yo conozco en cuanto a matemáticas, y otras cosas de las que ni siquiera tengo idea de lo que son, como topos y teoría de tipos.

También traté de escribir un poco acerca de la notación funcional, pero es que aún es imposible para mí tratar de explicar eso sin introducir teoría de conjuntos, y eso me lleva inmediatamente a una visión axiomática poco pedagógica. Y quiero hacer un blog pedagógico. (Claramente, digo esto mientras la categoría que tengo por default es "Frustraciones" jasjajsjas).

A veces estoy tan alejado de la realidad. Todo esto lo hago mientras intento hacer los ejercicios más básicos del libro de John M. Lee acerca de variedades topológicas. Estoy un poco ofuscado, y por eso vine aquí.

El no estar en la escuela es un arma de dos filos. Me tiene muy ansioso, pero también me da mucha libertad para prepararme leyendo lo que yo quiero leer. Hablando de eso, también trato de avanzar en mi lectura de Only revolutions, libro de Danielewski. Esto me va a volver loco. Junto con mi poca (pero definitivamente presente) estabilidad emocional.

Pienso en algunos proyectos de software que traemos entre manos, mientras trato de aprender el suficiente alemán como para entender dos series de videos de la FAU, donde Frederic Schuller da clases de mecánica clásica y mecánica cuántica (TP1 y TP2). Si alguien me quiere ayudar, bienvenido.

En fin, estas ideas rondan mi cabeza. Ayer entré en un conflicto con mis propias emociones. Saltaba una y otra vez entre dos puntos de vista (y conjuntos de emociones) radicalmente distintos y excluyentes. Quizá fue falta de sueño. Gracias a mis amigos por soportarme... les debo tanto que ya no sé ni qué decir. Ahora me duele la cabeza.

Quizá sólo quiero dormir.